Z cyklu fascynujące liczby: ciąg Fibonacciego, phi + bonus na NR (eng))

Fn = Fn-1 + Fn-2,  F0 = 0,  F1 = 1

Ciąg Fibonacciego to ciąg, w którym kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… itd., aż do nieskończoności. Okazuje się, że stosunek liczby do liczby poprzedniej (dwóch składników sumy) równa się średnio 1.61803, inaczej phi, jeszcze inaczej Złoty Podział.
Liczbę phi, co ciekawe, można spotkać w przeróżnych formach ekspresji natury: od ludzkich kości, po układ liści na jednej gałęzi, budowę szyszki, liczbę płatków stokrotki, stosunek długości do szerokości liścia, brokuły, aż do struktury tornada i śnieżynki. Im bardziej ułożenie Twojego kośćca oraz proporcje twarzy przypominają Złoty Podział, tym jesteś atrakcyjniejszy dla innych.

Ten stosunek jest najbardziej wydajnym sposobem ułożenia komórek, rzeczy, pestek, itp.. Weźmy popularny przykład pestek słonecznika i sam kwiat słonecznika – jak ułożenie pestek łączy się ze Złotą Proporcją?

r = c√n
θ = n(137.5°) – formuła Vogela, formuła opowiadająca o wzorze, który często reprezentowany jest przez pestki słonecznika.

Wg kodu MATLAB:

n=1:500; 
r=sqrt(n); 
t=137.5*pi/180*n;

Co zrobić, by każda pestka jednocześnie nie była zbyt blisko drugiej i nie była zbyt daleko od środka? Natura znalazła sposób pakowania rzeczy, tak, by nie były zbyt ciasno upakowane, to ważne szczególnie przy podziale komórek i ogólnie budowaniu struktury. Jeśli narysujemy kropkę, a tuż nad nią kolejną kropkę i w stosunku do linii łączącej te dwie kropki utworzymy kolejną umieszczoną o kąt 137,5 stopni (Złoty Kąt) w prawo lub lewo  i tak dalej, to powtarzając ten proces utworzylibyśmy wzór “słonecznikowy”.

Dlaczego, akurat kąt 137,5, a nie inny? Otóż jest to kąt wyrażony w liczbach Fibonacciego 55 oraz 144, wyrażony w ułamku 55/144. Należy pamiętać, że liczba phi jest jedną z najtrudniejszych liczb do określenie jej wymiernie, ten kąt jest zawsze tylko przybliżony (aczkolwiek im dalej dwie sąsiednie liczby Fibonacciego od zera, tym dokładniejszy podają kąt). Właśnie przez to tak się układają różne “rzeczy”: nie promieniście, ale właśnie ze względu na specyficzny kąt – spiralnie.

Dokładniejsze wyjaśnienie dlaczego taki kąt, a nie inny, jest też dokładniejsze nawiązanie do formuły Vogela:

“I can!  It has to do with φ being the hardest number to approximate with rational numbers—the nth petal appears at which should be as far away from 0 as possible(remembering that shifts of 360° are invariant); so if θ=2πa, we really want na to be as far from an integer as possible.  It turns out that we can find the points where na approaches an integer closer than ma for all 0<m<n by terminating the continued fraction of a after a finite number of coefficients and taking the denominator of the fraction obtained as n, and that the closeness for each n is directly related to the coefficients of the continued fraction—the larger the coefficient, the closer na is to an integer for the corresponding n.  Therefore, we wish for the coefficients of our continued fraction to all be 1, the minimum value allowed.  If we do this, we get a=φ-1, the -1 included in order to ensure that a is between zero and one, and multiplying this by 360°, we get 222.5°, the complement of 137.5° which is the so-called «golden angle».
Furthermore, the values of n for the golden ratio are in fact the Fibonacci numbers, meaning that the ratios Fn/Fn-1 are in fact the best rational approximations for φ, and also that each petal appears close to the petal Fn petals after it (the particular Fn depends on how far out in the spiral you are), meaning that there seem to be Fn spirals.”

Przy całym mistycyzmie (który może przypominać obsesję i chorobę psychiczną u niektórych :P), który się utworzył wokół tej “boskiej” liczby, wg mnie powtarza się ona w przyrodzie z tego powodu, że… takie są zasady w panującym Wszechświecie: krótko mówiąc taki matematyczny stosunek widoczny w pewnych układach, ułożeniach, upakowaniach cząstek, rzeczy jest najbardziej optymalne, tak, jak bańka mydlana naturalnie układa się w okrąg – ponieważ takie fizyczne prawa ją obowiązują, że chce się ta bańka ułożyć, jak “najlepiej”, mieć jak najlepiej rozłożone siły, itp.. To po pierwsze, a po drugie, należy pamiętać, że Złoty Podział, złota spirala nie występuje wszędzie, często pewien procent osobników ma w “sobie” ten podział, reszta ma inne proporcje.

W pewnym sensie “nie wiadomo” (bo nie wiedzą, tak się układają, bo tak siły się rozkładają), SKĄD wiedzą w jaki się ustawić kształt bańki, a zawsze układają się w kółko (oczywiście jeśli jej nie modyfikujemy – bo ogólnie z pewną ludzką ingerencją można stworzyć bańkę kwadratową), tak nie wiedzą komórki żywe, jak się podzielić: po prostu “robią” to tak, a nie inaczej, jest to ekspresja nie samej liczby, a zależności w przyrodzie, oszczędności i optymalności natury.

Oczywiście nie jest to moje ostateczne zdanie i nie jest tak, że na 100% mam rację itp., ale tak właśnie jawi mi się ta liczba.

Pytanie:”Czemu ta liczba, a nie inna, co ona znaczy?”, brzmi dla mnie tak jak pytanie : “Czemu takie zasady rządzą Wszechświatem, a nie inne?”.

P.S. notatki Newtona.

Advertisements

One thought on “Z cyklu fascynujące liczby: ciąg Fibonacciego, phi + bonus na NR (eng))

  1. Ciekawy wpis. 🙂 O samej liczbie fi (bo po polsku można ją nazywać “fi” :P) słyszałem nieraz, ale o jej związku z urodą już nie. Fajna ta stronka, sprawdzam sobie swoje ulubione aktorki xxx. 😛

    Czemu tak się dzieje? Cóż, natura jest “leniwa” i zawsze dąży do rozwiązań najbardziej optymalnych, najmniej energochłonnych. Taka jej cecha, jak wszystkie inne zasady fizyki.

    Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s